Sobre el trabajo en cuestiones sintácticas …

¡¡Hola a todos!! Bien, veo que el blog ha estado últimamente un poco quieto, entonces he querido reactivarlo con una pregunta que se me ocurrió en estos días, cuando estaba dictando el curso de Lógica que estoy dando en la Universidad Nacional …

Aunque es bien sabido que los inicios de la lógica matemática se remontan al estudio de los sistemas deductivos, en algunos contextos -como el clásico- hay teoremas -como el de completitud y el de validez- que nos dicen que trabajar con la semántica es equivalente a trabajar con la sintaxis de dichos desarrollos. A raíz de esto, la Teoría de Modelos tuvo un rápido desarrollo durante el siglo pasado … incluso llegando a trabajar cuestiones muy abstractas (por ejemplo las clases elementales abstractas, que de hecho es el tema en el que he trabajado en mi tesis de maestría y en la que muy posiblemente voy a trabajar en mi doctorado) que incluso han dejado de lado la semántica de la lógica de primer orden, centrándose a estudiar relaciones externas de las estructuras matemáticas con las que se están trabajando, aunque debo aclarar que hay ramas dentro de la misma Teoría de Modelos que incluso todavía trabajan con cuestiones muy semánticas (como por ejemplo los que trabajan en o-minimalidad o los que trabajan con la Teoría de Modelos de estructuras analíticas), pero una cosa cierta es que en estos contextos ya no se trabaja con nociones sintácticas (sistemas deductivos).

La pregunta que quiero poner en este blog es la siguiente, ¿a qué se debe que todavía existan muchos lógicos -incluyo matemáticos y filósofos- que actualmente se dedican a estudiar sistemas deductivos en diversas lógicas -que a mi parecer son demasiado exóticas, aunque este punto de vista se puede deber al “lavado cerebral” que usualmente los directores de tesis y el mismo medio académico donde uno ha crecido le hacen a uno, aclarando que yo me formé en un ambiente clásico, ambiente en el que creo que la mayoría de los matemáticos de la Nacional nos hemos formado- si en algunos de estos contextos se ha probado la equivalencia entre las nociones sintácticas y las nociones semánticas -personalmente creo que es mucho más fácil trabajar con nociones semánticas (nociones análogas a los modelos en primer orden)- y de hecho en algunas de las nuevas lógicas que se definen en Teoría de Modelos (como la lógica que ha surgido de los trabajos de C. Henson, J. Iovino, A. Berenstein entre otros, donde trabajan con estructuras matemáticas de tipo analítico; o el trabajo de I. Ben Yacoov, compact abstract theories) nunca trabajaron con sistemas deductivos y directamente se pasó a trabajar con nociones semánticas.

Tengo mi propia opinión al respecto -veo que hay lógicos que aún se sienten seducidos por el estudio de la validez de argumentos en diversas lógicas y creo que a eso se pueda deber esta situación que describo- y posiblemente mis amigos filósofos me podrán estar mirando muy raro en este momento -y hasta les podrá parecer muy tonta la pregunta- pero es algo que me pregunté dada mi formación de matemático, y a que en el medio en el que estoy metido ya no es usual trabajar desde ese punto de vista.

Espero sus comentarios.

Pedro Zambrano.

"La palabra misteriosa de hoy es…"

Quisiera proponer que usemos nuestro blog para discutir, por lo menos cada semana, algún aspecto interesante de la lógica. La idea es que los que quieran hagan su contribución con algún dato interesante (en principio sobre lógica en forma de pregunta. En algún punto de la discusión sobre las posibles soluciones, por supuesto, esperamos que el autor de la pregunta exprese su solución a la misma.

Me tomo el atrevimiento de comenzar con un dato que espero sea de su interés. Como todos saben, un sistema deductivo consta de axiomas y de reglas de inferencia. Es posible tener sistemas deductivos sin axiomas, como lo son los sistemas de deducción natural, pero es un poco más raro tener sistemas sin reglas de inferencia. Una razón para ello puede ser el hecho de que el modus ponens —regla tan básica e intuitiva— no puede reducirse a un axioma, ni siquiera a un esquema de axiomas. ¿Por qué? Es decir, ¿Por qué el modus ponens no se puede reducir a un esquema de axiomas?

Me gustaría oir sus comentarios,

Edgar